Signal analysis in time domain
2.1 信号的预处理
概念：在对信号进行变换、提取、识别或评估之前，对检测信号进行的转换、滤波、放大等处理；
作用：抑制信号中的噪声，提高检测信号的信噪比，便于信息提取；
常用的信号预处理方法：
- 信号类型转换：将信号转变为便于处理的信号形式；
- 信号放大：增强微弱信号幅度或强度的过程。 其目的在于使信号在传输后，特别是远距离传输后，有足够的信号强度。
- 信号滤波：保留有用频段信号，对不感兴趣的信号频段或噪声进行抑制，从而提高信噪比。
- 去除均值：根据对信号均值的估计值，消除信号中所含均值成分；
- 去除趋势项：消除信号中的缓慢变化成分；
2.1.1 信号的滤波处理
1 经典滤波器
当噪声和有用信号处于不同的频带时，噪声通过滤波器将被衰减或消除，而有用信号得以保留。根据幅频特性的不同，滤波器分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等类型。 根据处理信号类型的不同，滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器。 对千数字滤波器来说，根据滤波器的单位脉冲响应序列长度的无限和有限，数字滤波器可进一步分为无限冲 击响应滤波器(IIR)和有限冲击响应滤波器(FIR)两类。
1）经典的信号滤波原理
经典滤波概念和方法建立在频域分析基础上。
2）理想模拟滤波器
3）实际滤波器及其基本参数
过渡带、波纹幅度、带宽、品质因数和倍频程选择性等。
4）数字滤波器
FIR型 数字滤波器可以对给定的频率特性直接进行设计。FIR型数字滤波器的设计方法主要是建立在对理想滤波器频率特性作某种近似的基础上的。这些近似方法有窗函数法、频率抽样法等；IIR型数字滤波器的设计属于间接设计法。IIR型数字滤波器目前最通用的设计方法是利用已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计。
2 现代滤波器
当噪声频带和有用信号频带相互重叠时，经典滤波器就无法实现滤波功能。现代滤波器也称统计滤波器，从统计的概念出发对信号在时域进行估计，在统计指标最优的意义下，用估计值去逼近有用信号，相应的噪声也在统计最优的意义下得以减弱或消除。
2.2 信号的采样
将连续信号转换成离散的数字序列，包含离散和量化两个主要步骤。
2.2.1 采样与混频
采样可以看作原始信号 $x(t)$ 与间距为 $\Delta t$ 的采样脉冲函数相乘。
离散信号的频谱 $ X_{\Delta}(\omega) $ 相当于将原信号的频谱 $ X(\omega) $ 依次平移 $ \omega_s= 2 \pi/ \Delta t $ 至各采样脉冲函数对应的频域序列点上，然后全部叠加而成。因此，离散信号的频谱就变为周期为 $ 2\pi/\Delta t $ 的函数。若采样间隔 $ \Delta t $ 太大，使得平移距离 $ 2\pi/\Delta t $ 过小。移至各采样脉冲函数对应的频域序列点上的频谱X(w)就会有一部分相互重叠， 由此造成离散信号的频谱与原信号频谱不一致，这种现象称为混叠。混叠改变了原信号的频谱，这样就不可能由频谱 $ X_{\Delta}(\omega) $ 准确地恢复原信号 $ x(t) $ 。
采样定理：为避免频率混叠，采样频率必须大于信号中最高频率的两倍以上；实际中一般去2.5~4倍。
2.2.2 量化与误差
对信号采样点取值进行数字化转换的过程。量化误差e的最大值应为 $ \pm\Delta/2 $，$ \Delta $ 为相邻电平之间的增量。
2.2.3 窗函数与泄露
理论上信号的长度是无限的，但任何观测信号都是在有限时间段内进行观测的。因此，信号采样过程须使用窗函数，将无限长信号截断成为有限长度的信号。从理论上看，截断过程就是在时域将无限长信号乘以有限时间宽度的窗函数。
若原信号及其频谱分别为 $ x(t) $ 和 $ X(\omega) $，根据频域卷积定理，截断后信号的频谱为 $ X(\omega) $ 与 $ W(\omega) $ 的卷积。由于 $ W(\omega) $ 为一个无限带宽函数，所以即使 $ x(t) $ 为有限带宽信号，截断后信号的频谱必然是无限带宽的。这就说明信号的能量分布在截断后扩展了。由此可见，信号截断必然会带来一定的误差，这一现象称为泄漏。泄漏与截断长度、所使用的窗函数等有关，如果增大截断长度，中心频率以外频率分量的衰减速度加快，泄漏误差减少。
2.2.4 采样长度与分辩率
数字信号的分辨率包括时间分辨率和频率分辨率。 时间分辨率即采样间隔 $ \Delta t $，它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度。数字信号的频率分辨率为 $ \Delta\omega=2\pi/T $，其中，$ T=N\Delta t $ 为数字信号的时间跨度，$ N $ 为数字信号的长度。
2.3 时域统计分析
2.3.1 时域指标参数
常用的时域参数和指标包括：均值；均方值；均方根值；方差；标准差；概率密度函数；概率分布函数；联合概率密度函数等。
2.3.2 参数指标的应用
- 利用概率密度函数和概率分布函数进行产品质量控制，研究材料的强度和控制设备的工作稳定性；
- 概率密度函数用千机器状态判断；
2.4 相关分析及应用
2.4.1 相关的概念
相关，就是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。变量之间的联系可通过反映变量的信号之间的内积或投影大小来刻画。两个信号的内积。
\(\langle x, y \rangle = \int_0^T x(t)y(t)\,dt\) 其中，$ T $ 为信号 $ x(t) $ $ y(t) $ 的观测时间。
实际中往往需要将两个信号之一在时域中移动一段时间 $ \tau $ 后，再考查它们之间的相关性。如将信号 $ y(t) $ 移动时间 $ \tau $ 得到 $ y(t+\tau) $, 然后再计算 $ x(t) $ 和 $ y(t+\tau) $ 的相关性。考虑积分时间段的影响，这时信号 $ x(t) $ 和 $ y(t+\tau) $ 相关性指标可写成 $ R_{xy}(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T x(t) y(t+\tau)\,dt $，$ T $ 为信号 $ x(t) $ 和 $ y(t) $ 的观测时间，$ \tau $ 为时间滞后。
2.4.2 自相关函数及其应用
\(R(\tau)= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t)x(t + \tau) \, dt\) 反映信号自身取值随自变量时间前后变化的相似性。
自相关函数具有如下性质：
- 是实函数；
- 是偶函数，即 $ R(-\tau) = R(\tau) $；
- $ R(0) $ 表示信号的均方值（若为平稳随机过程，则为 $ \mathbb{E}[x^2(t)] $）；
- 对于宽平稳随机过程，$ R(\tau) $ 在 $ \tau = 0 $ 处取得最大值；
- 若信号中含有周期分量，自相关函数中也会保留该周期成分，周期不变。
自相关函数的应用
- 检测机器运行状态：当机器状态异常时，随机噪声中将出现有规则、周期性的信号，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。用噪声诊断机器故障时，依靠自相关函数就可在噪声中发现隐藏的周期分量，确定机器的缺陷在。
- 利用自相关分析确定信号的周期。信号中的周期性分量在相应的自相关函数中不会衰减，且保持了原来的周期。因此，自相关函数可从被噪声干扰的信号中找出周期成分。
2.4.3 互相关函数及其应用
\[R_{xy}(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T x(t)y(t+\tau) \, dt\]完整地描述了两信号之间的相关情况或取值依赖关系。
互相关函数的性质如下：
- 实函数
- $ R_{xy}(-\tau) = R_{yx}(\tau) $
- 对于任意的 $ \tau $，满足 $ [R_{xy}(\tau)]^2 \leq R_x(0) R_y(0) $
- 若信号是零均值的，在 $ \tau \to \pm \infty $ 时，$ R(\pm \infty) \to 0 $
- 若两个信号 $ x(t) $ 和 $ y(t) $ 均含有周期性分量，且周期相等，则互相关函数 $ R(\tau) $ 也含有相同周期的周期性分量
互相关函数的应用
利用互相关分析测定船舶的航速；利用相关分析探测地下水管的破损地点。